https://www.youtube.com/watch?v=1YMTkELi3tE&list=PLMrJAkhIeNNR20Mz-VpzgfQs5zrYi085m&index=4
하지만, 실제로 Linear System으로 이루어진 환경은 매우 극히 드물다.
이번에는 non-Linear한 System을 Linear하도록 바꾸는 방법에 대해서 알아보자.
($\dot x=Ax$ 에서의 $A$를 찾는 방법을 알아보자!)
non-Linear한 System을 Linear하도록 바꾸는 것은 수식적으로는
$\dot x = f_{(x)}$ 인 non-Linear System을 우리가 아는 $\dot x = Ax$ 로 바꾸는 것이다.
우선 먼저 해야하는 작업은
fixed points = equilibrium point ($\bar x$)를 찾는다.
$\dot x$ s.t. $f_{(\bar x)} = 0$
fixed points는 제어가 되며 수렴하는 포인트를 의미한다(아마…?)
ex) 진자가 정지하는 부분의 $\theta$, 반구통에서 구가 멈추는 위치, 태양과 지구 사이 중력이 0
이 되는 중심부..etc
$\bar x$ 에 대하여 선형화를 한다.
$J= {Df\over Dx}_{(x = \bar x)}=[{\partial f_i\over\partial x_j}]$
위와 같은 벡터장에 대하여 $\bar x$ 위치에 반지름이 $\delta x$ 인 원을 그렸다고 하자.
이러한 작은 공간을 우리는 선형화를 하여 평평한 면으로 근사할 것이다.
테일러 급수로 $\dot x$ 를 표현하면
$\dot x = f_{(\bar x)}+{Df\over Dx}{(x = \bar x)}(x-\bar x) + {D^2f\over Dx^2}{(x = \bar x)}(x-\bar x)^2 ...$
로 전개가 된다. 이때, (1)로 인하여 $f_{(\bar x)}$는 0이며 $(x-\bar x) = \delta x \approx 0$ 이라 할 수 있기에
뒷항은 다 제거가 되고 이에 따라
$\dot x = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)}(x-\bar x)$ 라고 할 수 있다. 이를 Linear System 꼴과 비교한다면
$\dot x = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)}(x-\bar x) = A\vec x$ $(\dot x = Ax)$
이므로
$A = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)}$ 라고 할 수 있다!!
이제 앞서 배운 것을 통하여 $A$ 의 고유값과 고유벡터로 System을 해석할 수 있다!
그럼 이제 예시를 들어 이를 실습해보자!
ex1) 어떤 모르는 상태에서 함수만 알고 있는 System
$\dot x_1 = f_{1(x_1, x_2)}=x_1x_2$ , $\dot x_2 = f_{2(x_1, x_2)}=x_1^2+x_2^2$ 로 주어진 환경이 있다.
이를 Linear System으로 바꿔보자!
$A = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)} = [{{\partial f_1\over\partial x_1} \atop {\partial f_2\over\partial x_1} } {{\partial f_1\over\partial x_2} \atop {\partial f_2\over\partial x_2} }] = [{x_2 \atop 2x_1}{x_1 \atop 2x_2}]$ 로 원하는 행렬을 얻을 수 있다.
ex2) 물리학을 통하여 수식을 알 수 있는 System
다음과 같은 형태로 진자모델이 존재한다고 해보자. (이때, 공기저항도 존재한다고 생각한다)
$\theta$ 를 변화하는 방향의 가속도는
$\ddot \theta l = -g\sin(\theta)-l\delta \dot \theta(drag)$ , $\ddot \theta = -{g \over l}\sin(\theta) - \delta \dot \theta$
자 이제 아래와 같이 치환을 해보자
$[{x_1\atop x_2}] = [{\theta\atop \dot \theta}]$
이제 이를 미분하는 형태로 적어서 equilibrium point을 찾을것이다
${d \over dt}[{x_1\atop x_2}] =[{x_2\atop -{g \over l}\sin(\theta) - \delta \dot \theta}]$
이러한 ${d \over dt}[{x_1\atop x_2}] = 0$ 이 되도록 하는 값은 $[{x_1\atop x_2}] = [{n \pi \atop 0}]$ 꼴이다
case 1) $[{x_1\atop x_2}] = [{0 \atop 0}]$ 기존 진자경우
$A = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)} = [{{\partial f_1\over\partial x_1} \atop {\partial f_2\over\partial x_1} } {{\partial f_1\over\partial x_2} \atop {\partial f_2\over\partial x_2} }] = [{0 \atop -1}{1 \atop \delta}]$ (Let, g=L)
로 정리가 되고 이의 고유값의 범위를 확인하면 Stability함을 확인할 수 있다
case 2) $[{x_1\atop x_2}] = [{\pi \atop 0}]$ 역진자경우
$A = {Df\over Dx}_{(x = \bar x)} = [{{\partial f_1\over\partial x_1} \atop {\partial f_2\over\partial x_1} } {{\partial f_1\over\partial x_2} \atop {\partial f_2\over\partial x_2} }] = [{0 \atop 1}{1 \atop \delta}]$ (Let, g=L)
로 정리가 되고 이의 고유값의 범위를 확인하면 Unstability함을 확인할 수 있다