$$ {}^{B}J\,{}^{B}\dot{\vec{\Omega}} = {}^{B}\vec{T} + \left[{}^{B}\vec{F}\right]_{\times} \, {}^{B}\vec{P}_C - {}^{B}\vec{\Omega} \times {}^{B}J\,{}^{B}\vec{\Omega} $$
위와 같이 시스템이 정의되어있다. 기존의 Body기준의 Dynamics를 따라가고 있다.
이때, 원래는 $- \vec {P_c } \times \vec F$ 이 맞지만, 이를 skew-symmetric matrix꼴로 변경하고, 특성에 맞게 (-)가 제거됨에 따라 위와 같이 써지게 된거다. → 정의는 원점을 기준으로 $P_c$ 가 정의되지만 회저은 $P_c$ 를 기준으로 회전이 됨에 따라 부호가 반대인것이다.
Note* 이때 코리올리항의 경우에는 거의 작은 값이므로 무시가능하다
$$ m{}^{B}\dot{\vec{V}} = mg{}^{B}R_G{}^{G}\vec{e}_3 + {}^{B}\vec{F} $$
병진방향에 대한 Dynamics는 위와 같이 동일한 구조를 지니고 있다. 본래는 $\ddot x$ 형태로 표기를 하였지만, Body기준에 대해서는 속도부터 정의가 가능함에 따라 위와 같이 엄밀하게 표기하는 모양으로 바뀌었다.
정확하게 modeling을 하기 위해서는 비율과 시간지연을 모두 고려한 형태와 같은 식이 맞다.
$$ \vec F = k(t-T)\vec F^* $$
본 장에서는 시간지연은 고려하지않은 상태에서 아래와 같이 scale에 대한 error만을 고려하겠다.
$$ {}^{B}\vec{F} = k{}^{B}\vec{F}^{}\quad {}^{B}\vec{T} = k{}^{B}\vec{T}^{}\quad (0 \leq k \leq 1) $$
이때, 지극히 자연스럽게 토크도 동일한 scale factor를 지니는 것이 이상하다고 판단할 수 있다. 그러나 아래와 같은 수식을 통하여 동일한 scale factor를 지님을 보일 수 있다.
우선적으로 아래 수식과 같이 desired Force와 real Force의 값의 관계는 아래와 같다.
$$ {}^{B}\vec{F} = \sum_{i=1}^{4} {}^{B}\vec{F}i = \sum{i=1}^{4} k{}^{B}\vec{F}_i^{} = k{}^{B}\vec{F}_i^{} $$
이때, Torque를 생성하는 수식에 의거하여 대입하면 k만의 항만 변경되는 경우로 해석된다.
$$ \vec{T} = \sum_{i=1}^{4} (\vec{r}_i \times {}^{B}\vec{F}i) + (-1)^i{\xi} , {}^{B}\vec{F}i =\sum{i=1}^{4}\left( [\vec{r}_i]{\times} + (-1)^i{\xi} \mathbb{I} \right) k{}^{B}\vec{F}_i^{} =k{}^{B}\vec{T}^{} $$