리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 개념
CoM estimator에 대한 이해와 엄밀한 안정성을 보이는 방법에 대하여 복기하기 위하여 이에 대한 정리를 한번 더 하려고 한다. LQR부터 S.E.D.A.프로젝트등 여러 방면에서 Lyapunov Stability에 대한 접근은 많았다.
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고유값기반(Hurwitz Stability)방식은 선형시스템이여하며, 시불면만 가능하지만 Lyapunov Stability는 비선형 시스템에 대해서도 안정성을 판정할 수 있기때문이다!
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기존에 우리가 알고 있는 안정성 방식으로 pole의 위치에 따라 본 시스템이 안정한지를 판정하는 방법을 말한다. 선형 시스템에서 다음과 같은 상태방정식이 있다고 가정할때,
$$ \dot x= Ax $$
행렬 A의 모든 고유값(eigenvalues)의 실수가 음수일때, Hurwitz 조건을 만족하여 안정하다고 정의
$$ All eigenvalues of A have negative real parts⇒A is Hurwitz $$
⇒ 그리고 이과정에서, 만일 Hurwitz 하지 않는 시스템일때 Pole Placement를 통하여 안정화를 진행
e.g. 입력을 $u=-kx$ 로 가한다고 할때 시스템은 아래와 같다.
$$ \dot x = Ax+Bu = (A-BK)x = Hx $$
그리고 이때의, H에 대한 Hurwitz Stability를 다시 판정하면 안정성을 유지시킬 수 있다!!
그렇다면 Lyapunov Stability는 무엇일까? Lyapunov Stability는 고유값을 기반으로 안정성을 확인하는 것과는 크게 두가지의 다른점이 존재한다.
에너지함수관점으로 본 시스템이 안정적인지, 즉 시간이 지나면서 안정해지는지(calm)를 본다.
안정성에 충분조건을 확인하는 용도이다.
i.e. Lyapunov Stability가 증명되지않을때, 불안정하다는 말은 아니다. → 불안정성을 보이지못함
Lyapunov Stability는 증명되었을때, 본 시스템이 안정하다는 것을 보여줄 수 있다!!!!(KEY)