이번에는 각각의 edge가 변화하지 않는 경우에서의 제어방식에 대해서 이야기해보고자 한다.

edge가 변화하지 않는 경우를 보통 static network라고 명명하고, 우린 그중에서 각 vertex에 동일하지만 값이 다른 개별의 동역학식을 가지고 있고, 그 vertex들이 네트워크를 통하여 연결되어 있는 구조인 Diffusively coupled multi-agent system에 대해서 이야기를 할 것이다.

예시를 통하여 Diffusively coupled multi-agent system을 이해해보자.

다음과 같은 상태공간방정식이 있다고 해보자.

$$ \dot x_i = 0x+u_i $$

$$ x(0)_i = \zeta_i $$

와 같이 입력에 대하여 다음의 상태가 정해지고, 초기값들이 제공되어 있는 형태를 보자.

이때 i는 vertex의 번호를 의미한다. 그렇기에 첫번째 수식이 그 vertex 개별의 동역학 수식이고, 이때 다 다른 물리량을 지니고 있는 전형적인 Diffusively coupled multi-agent system 이다.

이때, 입력은 아래와 같이 정의할때

$$ u_i = \sum_{\begin{subarray}{} j\in N_i \end{subarray}} a_{ij}(x_j -x_i) $$

Note* 여기서 Ni는 i번째 vertex에 대해서 인접한 vertex들의 집합을 의미한다.

이 입력을 음미해보면, 자신의 상태x_i에 대해서 주변 vertex간의 차이를 기반으로 가중치값을 각각 곱하여 합한것을 입력으로 한다는 것을 확인할 수 있다.

이때, 이 입력은 graph 이론에 따른 Laplacian 행렬에 의해 다음과 같이 정리된다.

$$ \dot x = -Lx $$

이는, 아주 간단한 상미분 방정식에 해당하며, 이에 대한 x의 해를 구하면 다음과 같다